put on

put onに着目しました。put onには様々な定義があるPVですがここでは第五語義の「（代わって）電話に出す」（『リーダーズ英和　第２版』研究社）の意になります。確認のためCollins English Dictionaryも見てみますと’to connect (a person) by telephone'と掲載されていました。ですので「代わって貰ってもいいかしら」と解釈出来るかと思います。(Shou-VR*)

‘Miss Evans! It’s grand to here from you.’
‘How is everything there?’
‘Just lovely.’
‘How is Kemal? Are there any problems?’
‘None at all. He certainly missed you.’
‘I miss him. Will you put him on?’
‘He’s taking a nap. Would you like me to wake him up?’

出典：Sidney Sheldon,『THE SKY IS FALLING』P.263