incoming

incomeは「収入、所得」という意味があるのは高校1年レベルの単語です。中に(in)入ってきたもの(come)というのが原義でしょう。
incomingは「収入」「入ってくる」(↔outgoing)という意味もありますが（例: incoming train）、「あとを次ぐ、後任の」(『ジーニアス英和辞典　第４版』大修館)という意味があります。next prime minister, 先生が書かれていたthe presumptive prime ministerという表現の加えて、押さえておこうと思います。(Minnesota)

http://d.hatena.ne.jp/A30/20121219/1355882486

China commentary questions Abe's sincerity

China’s state media Tuesday questioned whether Japan’s incoming prime minister sincerely wants to improve ties with Beijing, which have been severely strained by a row over a disputed island chain.

The official Xinhua news agency noted Monday’s remarks by Shinzo Abe that there is “no room for negotiation” over the sovereignty of the Senkaku islands, which Beijing calls the Diaoyus.

http://www.japantoday.com/category/politics/view/china-commentary-questions-abes-sincerity